Why do cheetahs have spots? / Pourquoi les guépards ont-ils des taches ?

In 1952, Alan Turing published an article called The Chemical Basis of Morphogenesis in which he offered an idea as to how reaction-diffusion equations could help explain various biological structures: the spacing of rows of alligator teeth, the spots on cheetahs, the position of leaves on some plants… Beside the article itself that is quite fascinating, it’s interesting to see that today, nearly 70 years later, there is still no scientific consensus on whether to accept or deny his theory.

In this article, Turing proposes a theoretical model of how some physicochemical reactions could lead to “morphogenesis“, the process by which an organism transforms its genes into an anatomical structure. In particular, the mathematician focuses on how we can see the apparition of patterns and periodic structures from an initially pretty homogeneous state. He warns quite early that his theory is a simplification (and therefore a “falsification”, in the scientist’s own words) of reality; and at various points, he states that he will make a hypothesis to make things easier or because we can assume that this is overall true. He also insists in the abstract on the fact that he does not intend to revolutionize research on this topic but rather suggests that we could use already well-known laws of physics and chemistry to account for a possible morphogenesis mechanism.

In truth, his goal was to propose a theoretically sound, credible and simple model, that may (or may not!) be at play in nature – but he knew that they wouldn’t be enough experimental evidence to clearly support or refute his allegations and that it could only be part of the full mechanism. He frequently recalls that this article is an “investigation” and an “inquiry” and by no means a definitive solution on the matter.

The article got a mixed response from the scientific community, in particular due to some strange consequences of the proposed model (such as negative concentrations of chemicals), a still rare practice of mathematical modeling in biology and some lack of knowledge in chemistry at that moment (for example, the existence of oscillating chemical reactions that were only discovered in 1968). Still, his work inspired several researchers in the following years like Glansdorf and Prigogine in the 60s or later Murray in the 2000s; and the end of the 20th century saw a stunning growth in the field of mathematical biology.

After a section on the model Turing presents in the article, I’ll talk a bit about the scientific method and how it helps us form new theories or models while still following some essential rigor principles.

The reaction-diffusion model & Turing structures

Throughout these 30 pages, Turing develops the reaction-diffusion (RD) model and describes what is now called a Turing structure.

A question that Turing asked himself (for example in §§4 of the article) was: say at the beginning, you have a perfectly homogeneous spherical shape for your embryo – then how can you get to a structured heterogeneous shape? The answer he proposes mainly relies on the idea that there is an intrinsic instability in the system and that some variations will break the initial symmetry in a more significant way than others. Those symmetry breaks notably tend to grow and further disrupt the initial homogeneity into an eventually completely asymmetric and heterogeneous (but now once again stable) state. To put it simply, you start from an unstable equilibrium, you give it some little push, and you run down the hill until you reach a new stable equilibrium that corresponds to a completely different state.

The organism begins in an homogeneous but dynamically instable state. A tiny “push” will trigger a chain of transformations that modify it until it reaches a new equilibrium: this new equilibrium is stable but it corresponds to a new heterogeneous state.

Note: saying that the final state is “asymmetric” can be counter-intuitive – as shown in my little drawing and as is often the case in reality, the heterogeneous state the organism ends up is a shape that presents some symmetry axis. What we call “symmetric” here is a state that is mathematically homogeneous, meaning that it is invariant by translation, rotation, mirroring, flip or dilatation.

Turing then offers a model, the RD model, that relies on two chemical species called “morphogens” (because they partake in the global morphogenesis process). Those chemicals interact with one being an activating agent (catalyst) and the other a blocking agent (inhibitor). Those species react together and diffuse through the organism (through the cells, the tissues), hence the name of the model.

Let A be the catalyst and B the inhibitor. Turing’s model makes the following assumptions:

  • A is self-activating (1)
  • A also activates the production of B (2)
  • B is diffused faster than A (3)
Turing’s model uses two chemicals A and B, an activator and an inhibitor. Both interact to activate or inhibit the other, and B diffuses faster than A in the organism.

Now in a “normal case”, A and B are somewhat in a balanced state. But if a tiny local fluctuation (typically due to the movement of molecules) results in a little excess of the A species, then the following can happen:

  1. since there is more A, there is more B (due to (2))
  2. more B will cause an inhibitory peak (by definition) to stop the overproduction of A, bringing a balance in concentrations; both chemicals start to diffuse in the organism
  3. because B diffuses faster than A (due to (3)), there will be a small area around the A peak with a higher concentration of B that form a B peak

This rough schema gives an idea of the process:

We can relate this to the spots on the skin of cheetahs. Suppose the A morphogen prevents the formation of melanin: then, areas where you have a high concentration of the A chemical are lighter. If you have a peak of the B chemical, since you have less of A, you have a darker skin. We can now make a parallel between the A peak and the ring of the B peak around it, and the spots on a cheetah:

The spots on the skin of a cheetah could be explained by the RD model: the A peak would correspond to the lighter skin at the center of the spots (A blocks melanin) and the B peak would form the darker ring (B inhibits A and therefore lets more melanin gather).

The way the B molecule moves around and diffuses around the A peak may vary, thus causing different patterns at the end of the chain.

At a larger scale, the activating peaks (the A peaks) may occur at varying distances from one other all throughout the organism. However, the most stable configuration seems to be a periodic pattern – the resulting regularly spaced stripes and spots patterns are called Turing structures.

Note: as pointed out by Murray in his article (in the “How the Leopard Gets Its Spots” section), given a specific pattern generative process like the one of the cheetah, a minimal size of organism is required for spots to form. Conversely, in a very narrow region, such as the cheetah’s tail, only stripes may appear. For the ones that are more into maths, this is because in a region that is mostly constrained along one axis, only 1D modes can exist for the diffusion equation and therefore geometries such as circles cannot be produced.

Other examples in the animal and the plant kingdoms

The system that Turing studies is very dynamically instable – remember that according to the RD model a small change in the concentration of molecules creates actual visible patterns in the organism’s anatomy! The original homogeneous symmetrical state will go through lots of tiny modifications that will all have specific consequences. This is how from this one theoretical RD mechanism, the mathematician predicts we could get the numerous patterns we see in nature: the polygon-shaped marks on the skin of giraffes, the stripes on zebras, the coats of goats or cows…

Turing’s RD model would be able to produce very different patterns like the stripes on the zebras’ and zebrafishes’ skin, the diamonds on the the giraffes’… (Photo of the zebrafish from: http://fishstory.educondia.com/zebrafish/)

Turing’s model could also explain the shape of some plants or less common animals such as the hydra – a small aquatic animal of about a dozen millimeters that seemingly doesn’t age and that is able to regrow after having been almost completely squashed!

What exactly is the scientific method?

At the heart of the scientific method is the thought that experiments are the backbone of any theory: observation will lead you to a specific question (via induction) for which you will then form a possible answer (your theory) by binding together various previously known rules (the axioms and laws) and other assumed facts (your working hypotheses); you then iteratively refine your new propositions by performing new adapted and controlled experiments to verify or refute them.

Another important rule in science is that a theory is correct (only) until proven otherwise. No theory can be absolutely true: you must always be prepared to seeing your magnificent set of laws be crushed by a new experiment or someone spotting an error somewhere. The current scientific consensus on a given topic is the reunification of all the most probable theories at that time, the ones that have been verified by the most experiments and that haven’t yet been refuted.

But scientific consensus evolves, and revolutions like the ones that happened during the 20th century with Einstein’s theory of relativity or quantum mechanics are a constant reminder of the fact that we should not set our suppositions in stone. It is the job of a scientist to explore new horizons, come up with unexpected answers, imagine brand new models… still, the scientific method is a guide that ensures she follows a rigorous path and does not let any thought interfere with the new theory just because it’s there. In my opinion, research is all about carefully mixing creativity with logic and discipline.

In The Chemical Basis of Morphogenesis, not being able to actually perform experiments to support his theory is of course a big thorn in Turing’s side. However, because he starts off saying he is performing an investigation on a possible mechanism, because he builds everything from already pre-established laws and because he provides us with plenty of ideas of how to prove the theory when technology will allow it, the mathematician nevertheless provides us with a valid and solid scientific article.

During the 70s, several computer models reproduced Turing patterns, yet molecular biology wasn’t advanced enough to exhibit chemicals with the required set of specific conditions (see the previous section). This is why it took nearly 40 years for an experiment to show that Turing’s theory could be right. In December 1989, Kepper and Dulos managed to produce and get images of experimental Turing structures:

In 1989, Kepper and Dulos created experimental Turing structures that prove the credibility of Turing’s RD model.

In 2012, Green and al. established a new milestone in the whole “is Turing’s model correct?” debate by experimentally proving the existence of activators and inhibitors that implement the reaction-diffusion model in vertebrate development.

Note: the first part of Green and al.’s article also has a very nice and clear history of the progress and setbacks in the research of experimental proofs of Turing theory.

It still seems though that this model only explains part of the process in nature in general and that other phenomena are taking place at the same time since the patterns found in the lab are somewhat different from the ones observed in the real world. The fundamental concept of Turing’s model, the overall idea of an activator-inhibitor system, is general enough to apply to a number of situations, even though smaller bricks of the model suggested by the author (like morphogens diffusing through tissues and cells) might not always be present.

One possibility is that the RD model is indeed at play, but that it combines with many other mechanisms.

Another possibility (in no way mutually exclusive with the previous one) that was suggested by Murray is that the RD mechanism takes place quite early in the development of the embryo, therefore imprinting the patterns on a small-sized organism, and that further deformations caused by the growth of the organism would make the original patterns more similar to what we see at the end. For example, suppose a cow’s embryo is subjected to a peak of melanin very early on: then almost the entire body will be “splashed” with this dark spot and, when the organism further grows, we will get a completely black cow. If the peak happens a little later in the growth of the cow, then the spot might only stretch on half of the cow, and we get a black and white cow. Finally, if the peak happens very later on, we get a black-spotted white cow.

Depending on the moment at which the reaction-diffusion mechanism takes place, the resulting patterns might be further deformed and scale with the organism during its growth. (Image taken from: Why Are There No 3-Headed Monsters? Mathematical Modeling in Biology, J. D. Murray, 2012)

Occam’s razor: how to choose wisely

A core idea in science is that, when choosing between two possible explanations, you should usually take the one that is “the less complicated”, according to Occam’s razor. This process of elimination assumes that “the simplest and most direct solution is most likely the best one”. In particular, you should not artificially add entities or rules to your theory just to justify one specific point in the course of your reasoning. If you do that, you are running the risk of having a weak or even inconsistent system.

On the other hand, we should keep in mind that Occam’s razor is a helping tool but not an absolute truth: it is a valid heuristic but it does not necessarily yield the optimal or actual result.

This sort of sums up Turing’s entire process with this article: he believes that his theory is worth being studied and discusses mostly because it obeys Occam’s razor principle – it is an aggregation of simple (previously established) laws, tied together in the simplest way, that seems to match what is observed in reality. For example, it’s fun to read that at some point, Turing justifies making one specific hypothesis by writing (in The Chemical Basis of Morphogenesis§§3):

The author believes that the approximation is a good one […] and it is certainly a convenient one.

This quote clearly shows that, in the eyes of the mathematician and in the context of this article, having an understandable and “easy” explanation is almost more important than having it perfectly describe nature.

Admitting your flaws and staying open to discussion

One thing I find brilliant in Turing’s article is that he doesn’t shy away from possible detractors and some paragraphs like §§5 explicitly answer the critic of an imaginary opponent. This section focuses on the issue of organisms that have an axis of symmetry (like my little blob in the drawing above about equilibriums) and more precisely on why the author’s theory still holds even though at first it seems to be in contradiction.

Later in paragraph §§11, Turing discusses the various instabilities we can think of and how they could lead to some shapes or patterns we do see in nature. Still, he points out that the theory sometimes fails to predict the actual observations: in the case of plants, flowers in particular, the Turing model would theoretically allow for any number of leaves and petals. But we see that in real life, there are more often 5 than 7 petals. The scientist admits this fact and suggests that it does not imply the whole theory is false and to be forgotten but rather that it is incomplete and should be combined with other fields (in this case, he invokes phyllotaxis as a possible “companion” to his chemical-based morphogenesis theory).

Embracing the future and considering the role of new technologies

The last section of the article, §§13, is devoted to the exploration of the potential of computers for the study of this kind of problems. While Turing states that the equations without the simplifications offered here would be intractable in practice for any human, he does however ponder upon the idea that “digital computers” could one day help with solving problems like these.

Even though this article is focused on a bio-chemical topic, Turing is also (and maybe mostly) known as the father of computer science and artificial intelligence. It’s only after conceiving and building the first breed of our current computers during World War II, describing the famous Turing test (that is roughly meant to distinguish  a human from an AI) and overall planting all the seeds of modern computer science that he eventually dived into other topics like morphogenesis.

Sufficient to say that, in 1952, he probably had a pretty good idea of what computers would turn into. Given how they had been key in the success of the Allies during the war, he understood that they would become a powerful item in science, not as a replacement for the scientists, but as a supplement, as a new tool. I believe his vision – and his work – is what later gave birth to many domains in applied mathematics like numerical analysis.

To this regard, the 1952 article is quite modern and foreshadows the big shift we saw in the second half of the 20th century when more and more research teams started to accept computer experiments as proof.

Note: it is worth mentioning that, for some problems, the community is still divided on whether a computer simulation is enough to prove the definitely theory. For example, the four color theorem hasn’t yet been proven other than through computer-assisted methods and this lead to a controversy that is recalled by R. Wilson in his book Four Colors Suffice in 2002.

An extra: a little Voronoi image generator!

The patterns that giraffes bear on their skin is similar to a Voronoi diagram. Given a set of reference vertices, this mathematical partition of a plane cuts down the space into as many cells as there are points, each cell enclosing one vertex and the points of the plane that are closest to this vertex.

Note: the dual of the Voronoi diagram of a set of points is their Delaunay triangulation. This triangulation is a way of getting a “reasonable” discretization of a complex surface: for example, when using the finite elements method, it can be a nice solution to still be able to apply the method tools on a non-trivial domain.

For some reason, I find Voronoi diagrams to be calming and reassuring… so here is a little Python script to generate some images based on this structure! It produces results like these:

To use the script, simply unzip the folder and run the following command in a shell (the script uses the numpy, scipy and matplotlib packages, a small requirements file is provided to help you install the missing libraries if need be):

python voronoi.py

It will create a PNG image called “fig.png” in the same folder. You can get the script options by using the --help argument, but here is a recap:

  • you can change the number of vertices to use in the diagram (to create more or less cells) by using the -n argument (default is 35):
python voronoi.py -n 100
  • you can also set the size of the diagram by using the --size argument (default is 20) – the graph bounds will be -<size>, +<size> both in the X and Y directions:
python voronoi.py --size 50
  • and of course you can change the colors by passing in another name of colormap with the -c or --cmap argument (using a name from the list of available Matplotlib colormaps like “Greys” – the default -, “Reds”, “Blues”, “coolwarm”…):
python voronoi.py -c twilight
  • you can also set the percentage of cells that will actually be filled with a color with  the -f or --fill argument (ranging from 0 to 1, default is 0.5) – but the outer parts of the diagram (with the dashed edges) are not cells and will therefore never be colored:
python voronoi.py -f 0.9
  • if you want to show the image directly rather than save it, you can add the -s or --show argument:
python voronoi.py -s
  • finally, if you want to give another name to the output image, you can use the -o or --output argument:
python voronoi.py -o my_voronoi.png

Just for fun, here is another example with the same size but a lot more points (size is still 20, but there are 300 points):

Or another one with some colors that really looks like some destructured medieval stained-glass:

By the way, I published a few months ago a little puzzle game called What The Cut? that is based on the Voronoi patterns too! If you want to check it out, read the small article about it or jump to the game directly!

En 1952, Alan Turing publia un article intitulé Les bases chimiques de la morphogenèse dans lequel il proposait une idée selon laquelle des équations de réaction-diffusion pourraient expliquer diverses structures biologiques : l’espacement entre les rangées de dents des alligators, les taches sur les guépards, la position des feuilles de certaines plantes… En dehors de l’article qui est fascinant en lui-même, il est intéressant de voir qu’aujourd’hui encore, près de 70 ans plus tard, il n’y a toujours pas de consensus scientifique qui accepte ou réfute sa théorie.

Dans cet article, Turing propose un modèle théorique dans lequel certaines réactions physico-chimiques participent à la “morphogenèse“, le processus par lequel un organisme transforme ses gènes en une structure anatomique. En particulier, le mathématicien se concentre sur l’apparition de schémas périodiques à partir d’un état initial plutôt homogène. Il prévient dès le début que sa théorie est une simplification (et donc une “falsification”, en ses propres termes) de la réalité ; et, à de multiples reprises, il établit qu’il va faire des hypothèses simplificatrices que l’on peut généralement supposer vraies. Il insiste aussi dans le résumé sur le fait qu’il n’a pas l’intention de révolutionner la recherche sur le sujet, mais suggère plutôt que nous pourrions utiliser des lois de physique et de chimie déjà connues pour rendre compte d’un possible mécanisme de morphogenèse.

En vérité, son but était de proposer un modèle théorique valide, crédible et simple qui pourrait (ou non !) être mis en jeu dans la nature – mais il savait qu’il n’y aurait pas assez de preuves expérimentales pour clairement soutenir ou réfuter ses allégations et que ce ne pouvait n’être qu’une partie du mécanisme. Il rappelle fréquemment dans l’article qu’il s’agit d’une “enquête” et d’une “interrogation” et en aucun cas d’une solution définitive à la question.

L’article a reçu un accueil mitigé de la communauté scientifique, notamment à cause de quelques conséquences étranges du modèle proposé (comme des concentrations chimiques négatives), une pratique encore rare de la modélisation mathématique en biologie et un manque de connaissance en chimie à l’époque (par exemple, l’existence de réactions chimiques oscillantes qui n’ont été découvertes qu’en 1968). Son travail a néanmoins inspiré plusieurs chercheurs dans les années suivantes comme Glansdorf et Prigogine dans les années 60 ou, plus tard, Murray dans les années 2000 ; et la fin du 20e siècle a vu une croissance phénoménale de la biomathématique.

Après une section sur le modèle que Turing présente dans l’article, je parlerai un peu de la méthode scientifique et de la façon dont elle peut nous aider à inventer de nouvelles théories ou modèles tout en suivant quelques principes de rigueur essentiels.

Le modèle de réaction-diffusion & les structures de Turing

A travers ces 30 pages, Turing développe le modèle de réaction-diffusion (RD) et décrit ce que nous appelons maintenant une structure de Turing.

Une question que Turing s’est posé (par exemple dans §§4 de l’article) était : si, au départ, on a un embryon d’une forme sphérique parfaitement homogène, alors comment peut-on obtenir une forme structurée hétérogène ? La solution qu’il propose repose principalement sur l’idée qu’il y a une instabilité intrinsèque dans le système et que certaines variations vont venir briser la symétrie initiale de manière plus significative que d’autres. En particulier, ces brisures de symétrie vont avoir tendance à grandir et à déstabiliser encore plus l’homogénéité initiale jusqu’à atteindre un état complètement asymétrique et hétérogène (mais de nouveau stable). Dit simplement, on commence avec un équilibre instable, on donne une petite poussée, et on dévale la pente jusqu’à atteindre un nouvel équilibre stable qui correspond à un état complètement différent.

L’organisme commence dans un état homogène mais dynamiquement instable. Une petite “poussée” démarre une chaîne de transformations qui le modifient jusqu’à atteindre un nouvel équilibre : ce nouvel équilibre est stable mais il correspond à un nouvel état hétérogène.

Note : dire que l’état final est “asymétrique” peut être contre-intuitif – comme on le voit dans mon petit dessin et comme c’est souvent le cas en réalité, l’état hétérogène dans lequel l’organisme se retrouve à la fin est une forme qui présente un axe de symétrie. Ce que l’on appelle “symétrique” ici est un état qui est mathématiquement homogène, autrement dit qui est invariant par translation, rotation, réflexion, inversion ou dilatation.

Turing nous donne ensuite un modèle, le modèle RD, qui utilise deux espèces chimiques appelées “morphogènes” (car elles font partie du processus global de morphogenèse). Ces espèces interagissent, l’une étant un activateur (un catalyseur) et l’autre un inhibiteur. Ces agents réagissent ensemble et se diffusent à travers l’organisme (à travers les cellules, les tissus), d’où le nom du modèle.

Soit A le catalyseur et B l’inhibiteur. Le modèle de Turing fait les hypothèses suivantes :

  • A est auto-activatrice (1)
  • A active aussi la production de B (2)
  • B se diffuse plus vite que A (3)
Le modèle de Turing se base sur deux espèces chimiques A et B, un activateur et un inhibiteur. Les deux interagissent pour activer ou inhiber l’autre, et B se diffuse plus vite que A dans l’organisme.

Dans un “cas normal”, A et B sont plus ou moins équilibrés. Mais si une petite fluctuation locale (typiquement causée par un mouvement de molécule) produit un petit excès de l’espèce A, alors voici ce qui peut arriver :

  1. comme il y a plus de A, il y a plus de B (d’après (2))
  2. le fait qu’il y ait plus de B cause un pic inhibiteur (par définition) qui arrête la surproduction de A, rétablissant une balance dans les concentrations ; les deux agents commencent à se diffuser dans l’organisme
  3. comme B se diffuse plus vite que A (d’après (3)), il y a une petite zone autour du pic de A avec une plus grande concentration de B qui forme un pic de B

Ce schéma basique représente le processus :

On peut relier ça aux taches sur la peau des guépards. Supposons que le morphogène A empêche la formation de mélanine : alors, les zones où on a une forte concentration de l’espèce A sont plus claires. Si on a un pic de l’agent B, comme on a moins de A, on a une peau plus sombre. On peut maintenant faire le parallèle entre le pic de A et l’anneau du pic de B autour, et les taches sur un guépard :

Les taches sur la peau d’un guépard pourraient être expliquées par le modèle RD : le pic de A correspondrait à la peau plus clair au milieu des taches (car A bloque la mélanine) et le pic de B formerait l’anneau plus sombre (B inhibe A et laisse donc plus de mélanine s’accumuler).

La façon dont la molécule B se déplace et se diffuse autour du pic de A peut varier ce qui entraîne des patterns différents à la fin du processus.

A une échelle plus large, les pics d’activation (les pics de A) peuvent apparaître à des distances variées les uns des autres à travers l’organisme. Cependant, la configuration la plus table semble être un schéma périodique – les rayures et les taches régulièrement espacées qui en résultent sont appelées des structures de Turing.

Note : comme le fait remarquer Murray dans son article (dans la section “How the Leopard Gets Its Spots”), pour un processus générant un schéma spécifique comme celui du guépard, il faut une taille minimum de l’organisme pour que les taches apparaissent. A l’inverse, dans des régions très étroites comme la queue du guépard, seules des rayures peuvent apparaître. Pour ceux qui sont plus intéressés par les maths, cela vient du fait que dans une région qui est majoritairement contrainte selon un axe, seuls des modes 1D peuvent exister pour l’équation de diffusion et des géométries circulaires ne peuvent donc pas être produites.

D’autres exemples dans le monde animal et le monde végétal

Le système que Turing étudie est très instable dynamiquement – il suffit de se rappeler que, d’après le modèle RD, un petit changement dans la concentration des molécules va créer des motifs réellement visibles dans l’anatomie de l’organisme ! L’état initial homogène et symétrique subit de nombreuses petites modifications qui ont toutes des conséquences particulières. C’est ainsi qu’à partir d’un seul mécanisme théorique (le modèle RD), le mathématicien prédit qu’on pourrait obtenir des motifs aussi divers que ceux observés dans la nature : les marques en forme de polygone sur la peau des girafes, les rayures sur les zèbres, le pelage des chèvres ou des vaches…

Le modèle RD de Turing pourrait produire des motifs très différents comme les rayures des zèbres ou des poissons-zèbre, les diamants sur la peau des girafes… (Photo du poisson-zèbre extraite de : http://fishstory.educondia.com/zebrafish/)

Le modèle de Turing pourrait aussi expliquer la forme de certaines plantes ou de certains animaux moins usuels comme l’hydre – un petit animal aquatique de quelques dizaines de millimètres qui semble ne pas vieillir et qui est capable de se régénérer après avoir été presque complètement écrasé !

La méthode scientifique, c’est quoi exactement ?

Au coeur de la méthode scientifique, il y a l’idée que les expériences sont la colonne vertébrale de toute théorie : l’observation nous pousse à nous poser une question spécifique (via l’induction) pour laquelle on formule une réponse possible (notre théorie) en reliant des règles déjà connues (les axiomes ou les lois) et d’autres faits présupposés (nos hypothèses de travail) ; on raffine ensuite la proposition de manière itérative en réalisant de nouvelles expériences adaptées et contrôlées qui valident ou réfutent la théorie.

Un autre règle importante en science est qu’une théorie (n’)est correcte (que) jusqu’à avoir été démontrée fausse. Aucune théorie n’est absolument vraie : il faut toujours se préparer à l’idée de voir notre magnifique ensemble de lois écrasé par une nouvelle expérience, ou à ce que quelqu’un trouve une erreur quelque part. Le consensus scientifique actuel sur un sujet donné est la réunion des théories les plus probables à cet instant, celles qui ont été vérifiées par le plus d’expériences et qui n’ont pas été réfutées.

Mais le consensus scientifique évolue et des révolutions comme celles qui ont eu lieu durant le 20e siècle avec la théorie de la relativité d’Einstein ou la mécanique quantique sont un rappel constant du fait que nous ne devons pas graver nos suppositions dans le marbre. Une partie du travail de scientifique consiste en l’exploration de nouveaux horizons, la recherche de nouvelles réponses, l’invention de tous nouveaux modèles… mais la méthode scientifique reste un guide qui assure au scientifique de suivre un chemin rigoureux et de ne pas laisser n’importe quelle pensée interférer avec la nouvelle théorique juste parce qu’elle passe par là. A mon avis, la recherche scientifique, c’est un mélange astucieux de créativité, de logique et de discipline.

Dans Les bases chimiques de la morphogenèse, l’impossibilité pour Turing de réaliser réellement des expériences pour soutenir sa théorie est une épine dans son pied. Cependant, parce qu’il commence par dire qu’il réalise une enquête sur un mécanisme potentiel, parce qu’il s’appuie entièrement sur des lois déjà établies et parce qu’il nous présente un grand nombre de méthodes pour prouver sa théorie le jour où la technologie le permettra, le mathématicien nous offre bien un article scientifique valide et solide.

Dans les années 70, de nombreux modèles informatiques ont reproduit les motifs de Turing mais la biologie moléculaire n’avait pas assez progressé pour mettre en évidence les espèces chimiques nécessaires au vu des conditions spécifiques du modèle (voir la section précédente). C’est pourquoi il a fallu presque 40 ans pour qu’une expérience montre que la théorie de Turing pouvait être correcte. En décembre 1989, Kepper et Dulos ont réussi à produire et photographier des structures de Turing expérimentales :

En 1989, Kepper et Dulos ont créé expérimentalement des structures de Turing qui prouvent la crédibilité du modèle RD de Turing.

En 2012, Green et al. ont posé un nouveau jalon dans le grand débat d'”est-ce que le modèle de Turing est correct ?” en prouvant expérimentalement l’existence d’activateurs et d’inhibiteurs qui produisent le modèle de réaction-diffusion pour le développement de vertébrés.

Note : la première partie de l’article de Green et al. contient aussi un historique très clair des avancées et des reculs dans la recherche de preuves expérimentales pour la théorie de Turing.

Il semble pourtant que le modèle n’explique qu’une partie du processus naturel complet et que d’autres phénomènes sont à l’oeuvre en même temps car les motifs trouvés en laboratoire sont différents de ceux observés dans la réalité. Le concept fondamental du modèle de Turing, l’idée globale d’un système avec un activateur et un inhibiteur, est assez générale pour s’appliquer à de nombreuses situations, même si des briques plus petites dans le raisonnement suggéré par l’auteur (comme les morphogènes se diffusant à travers les cellules et les tissus) ne sont pas toujours présents.

Une possibilité est que le modèle est RD joue effectivement un rôle mais qu’il se combine avec beaucoup d’autres mécanismes.

Une autre possibilité (qui n’est pas mutuellement exclusive avec la précédente) suggérée par Murray est que le mécanisme de RD a lieu assez tôt dans le développement de l’embryon ce qui imprime les motifs sur un organisme de petite taille, et que les déformations causées par la suite par la croissance de l’organisme transforment les motifs en quelque chose de plus similaire à ce que l’on observe au final. Par exemple, supposons qu’un embryon de vache subit un pic de mélanine très tôt dans son développement : presque tout le corps est alors “éclaboussé” par cette tache sombre et, quand l’organisme poursuit sa croissance, on obtient une vache complètement noire. Si le pic arrive un peu plus tard, la tache peut ne s’étirer que sur la moitié de la vache, donnant finalement une vache à moitié noire et à moitié blanche. Enfin, si le pic arrive beaucoup plus tard, on peut observer une vache blanche à taches noires.

En fonction du moment auquel le mécanisme de réaction-diffusion a lieu, les motifs produits peuvent être déformés et grandir en même temps que l’organisme pendant sa croissance. (Image extraite de : Why Are There No 3-Headed Monsters? Mathematical Modeling in Biology, J. D. Murray, 2012)

Le rasoir d’Occam : comment choisir judicieusement

Une idée centrale en science est le fait que, lorsque l’on doit choisir entre deux explications, il vaut souvent mieux s’attacher à celle qui est “la plus simple”, suivant la règle du rasoir d’Occam. Ce processus d’élimination suppose que “la solution la plus simple et la plus directe est probablement la meilleure”. En particulier, il faut éviter d’ajouter artificiellement des entités ou des règles à notre théorie pour justifier un point dans le fil du raisonnement. En faisant cela, on court le risque d’avoir un système faible ou même incohérent.

Il faut néanmoins garder à l’esprit que le rasoir d’Occam est un outil utile mais pas une vérité absolue : c’est une heuristique valide mais elle ne donne pas nécessairement le résultat optimal ou exact.

C’est un peu un résumé du processus de Turing dans tout cet article : il pense que sa théorie mérite d’être étudiée et discutée notamment car elle suit le principe du rasoir d’Occam – c’est un agrégat de lois simples et déjà connues, assemblées de façon basique, qui semblent correspondre à ce que l’on observe. Par exemple, on peut noter qu’à un moment, Turing justifie de faire une hypothèse particulière en écrivant (dans Les bases chimiques de la morphogenèse§§3 – traduction personnelle) :

L’auteur pense que cette approximation est valable […] et qu’elle est certainement pratique.

Cette citation montre clairement que, aux yeux du mathématicien et dans le contexte de cet article, avoir une explication compréhensible et “facile” est presque aussi important que d’avoir parfaitement décrit la nature.

Admettre ses erreurs et rester ouvert à la discussion

Quelque chose que je trouve brillant dans l’article de Turing, c’est qu’il ne se cache pas face à d’éventuels détracteurs et des paragraphes comme §§5 répondent explicitement à la critique d’un opposant imaginaire. Cette section se focalise sur le problème des organismes avec un axe de symétrie (comme mon petit blob ci-dessus dans le dessin à propos des points d’équilibre) et plus particulièrement sur la raison pour laquelle la théorie de l’auteur fonctionne malgré cela, bien qu’elle paraisse à première vue en contradiction.

Plus loin, au paragraphe §§11, Turing discute des diverses instabilités auxquelles on peut penser et comment elles pourraient résulter en ces formes et motifs que l’on observe dans la nature. Néanmoins, il fait remarquer que la théorie ne parvient pas toujours à prédire exactement la réalité : dans le cas des plantes, des fleurs en particulier, le modèle de Turing autorise en théorie n’importe quel nombre de feuilles et de pétales. Mais dans la vraie vie, on en trouve plus souvent 5 que 7. Le scientifique admet cela et suggère que, loin d’impliquer que toute la théorie est fausse et qu’il faut l’oublier, cela montre plutôt qu’elle est incomplète et doit être combinée avec d’autres domaines (dans ce cas précis, il évoque la phyllotaxie comme possible “compagnon” de sa théorie de morphogenèse basée sur la physico-chimie).

Accepter le futur et prendre en compte le rôle des nouvelles technologies

La dernière section de l’article, §§13, est dédiée à l’exploration du potentiel des ordinateurs pour l’étude de problèmes de ce genre. Même si Turing indique que les équations sans les simplifications proposées ici seraient insolubles en pratique pour un humain, il se demande en revanche si les “ordinateurs digitaux” (“digital computers”, dans le texte) pourraient un jour aider à résoudre ce type de situations.

Bien que cet article se concentre sur un sujet de biochimie, Turing est aussi (et probablement surtout) connu comme le père de l’informatique et de l’intelligence artificielle. Ce n’est qu’après avoir conçu et construit la première génération de nos ordinateurs actuels pendant la Seconde guerre mondiale, avoir décrit le fameux test de Turing (qui est en gros destiné à distinguer un humain d’une IA) et plus globalement avoir posé les bases de l’informatique moderne qu’il s’est finalement intéressé à d’autres questions comme la morphogenèse.

On peut donc dire qu’en 1952, il avait probablement une assez bonne idée de ce que les ordinateurs allaient devenir. En voyant qu’ils avaient été un élément stratégique dans le succès des Alliés pendant la guerre, il a compris qu’ils allaient devenir un item puissant de la science, non pas pour remplacer les scientifiques mais comme un supplément, un nouvel outil. Je crois que sa vision – et son travail – ont par la suite donné naissance à de nombreux domaines en mathématiques appliquées comme l’analyse numérique.

De ce point de vue, l’article de 1952 est relativement moderne et il présage du grand changement que nous avons vu dans la deuxième moitié du 20e siècle quand de plus en plus d’équipes de recherche ont accepté les expériences informatiques comme preuve.

Note : on peut néanmoins mentionner que, pour certains problèmes, la communauté est encore divisée et n’a pas décidé si une simulation informatique suffit à prouver définitivement la théorie. Par exemple, le théorème des quatre couleurs n’a pour l’instant pas été démontré autrement qu’avec des méthodes utilisant un ordinateur, et cela a causé une controverse racontée par R. Wilson dans son livre Four Colors Suffice en 2002.

Un extra: un petit générateur d’images Voronoi !

Les motifs que les girafes ont sur la peau est similaire aux diagrammes de Voronoi. A partir d’un ensemble de sommets, cette partition mathématique du plan coupe l’espace en autant de cellules qu’il y a de points, chaque cellule encerclant un sommet et les points du plan les plus proches de ce sommet.

Note : le dual du diagramme de Voronoi d’un ensemble de points est leur triangulation de Delaunay. Cette triangulation est une façon d’obtenir une discrétisation “raisonnable” d’une surface complexe : par exemple, quand on utilise la méthode des éléments finis, ce peut être une solution pratique pour pouvoir quand même appliquer les outils sur un domaine non trivial.

Pour je ne sais quelle raison, je trouve que les diagrammes de Voronoi sont reposants et rassurants… j’ai donc fait un petit script Python disponible ici pour générer des images à partir de ces structures ! Voilà le genre de résultats qu’il produit :

Pour utiliser le script, il vous suffit de dézipper l’archive et de lancer la commande suivante dans un terminal (le script utilise les librairies numpy, scipy et matplotlib, un petit fichier de requirements est fourni pour vous aider à installer les packages manquants si nécessaire) :

python voronoi.py

Cela crée une image PNG image appelée “fig.png” dans le même dossier. Vous pouvez accéder aux options du script en utilisant l’argument --help, mais voilà un récapitulatif :

  • vous pouvez changer le nombre de sommets à utiliser dans le diagramme (pour créer plus ou moins de cellules) à l’aide de l’argument -n (par défaut, 35) :
python voronoi.py -n 100
  • vous pouvez aussi choisir la taille du diagramme en utilisant l’argument --size (par défaut, 20) – les bornes du graphes sont -<size>, +<size> dans les directions X et Y :
python voronoi.py --size 50
  • et bien sûr vous pouvez changer les couleurs en donnant un autre nom de colormap avec l’argument -c ou --cmap (en utilisant un nom tiré de la liste des palettes Matplotlib disponibles comme “Greys” – par défaut -, “Reds”, “Blues”, “coolwarm”…) :
python voronoi.py -c twilight
  • vous pouvez aussi choisir le pourcentage de cellules qui vont effectivement être remplies avec une couleur avec l’argument -f ou --fill (qui va de 0 à 1, par défaut il vaut 0.5) – mais les parties extérieures du diagramme (avec des arêtes en pointillés) ne sont pas des cellules et ne seront donc jamais colorées :
python voronoi.py -f 0.9
  • si vous voulez visualiser l’image directement plutôt que de la sauver, vous pouvez ajouter l’argument -s ou --show :
python voronoi.py -s
  • enfin, si vous voulez préciser le nom de l’image de sortie, vous pouvez utiliser l’argument -o ou --output :
python voronoi.py -o my_voronoi.png

Voilà un autre exemple avec la même taille mais beaucoup plus de points (la taille est toujours de 20, mais il y a 300 points) :

Ou un autre avec quelques couleurs qui ressemble vraiment à un vitrail médiéval destructuré :

Au fait, j’ai publié il y a quelques mois un article avec un petit jeu de puzzle intitulé What The Cut? qui est aussi basé sur les digrammes de Voronoi ! Si vous souhaitez y jeter un oeil, lisez le petit article qui lui est consacré ou bien allez directement jouer au jeu !

  1. A. Turing, The Chemical Basis of Morphogenesis (http://www.dna.caltech.edu/courses/cs191/paperscs191/turing.pdf), Mar. 1952. [Online; last access 3-May-2020].
  2. A. Lesne, “Alan Turing, les motifs et les structures du vivant” (https://interstices.info/alan-turing-les-motifs-et-les-structures-du-vivant/), Jan. 2013. [Online; last access 3-May-2020].
  3. P. de Kepper and E. Dulos, “Chimie des formes et motifs de pelage” (https://www.pourlascience.fr/sd/chimie/chimie-des-formes-et-motifs-de-pelage-5536.php), Dossier pour la science n°44 – Jul. 2004. [Online; last access 3-May-2020].
  4. J. Ouellette, “Biologists Home In on Turing Patterns” (https://www.quantamagazine.org/biologists-home-in-on-turing-patterns-20130325), Mar. 2013. [Online; last access 3-May-2020].
  5. J. D. Murray, Why Are There No 3-Headed Monsters? Mathematical Modeling in Biology (https://www.ams.org/journals/notices/201206/rtx120600785p.pdf), 2012. [Online; last access 3-May-2020].
  6. Green and al., Periodic stripe formation by a Turing-mechanism operating at growth zones in the mammalian palate (https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3303118/), 2012. [Online; last access 3-May-2020].
  7. S. Kondo, M. Iwashita and M.Yamaguchi, How animals get their skin patterns: fish pigment pattern as a live Turing wave (http://www.fbs.osaka-u.ac.jp/labs/skondo/paper/kondo%20IJDB%20review.pdf), June 2009. [Online; last access 3-May-2020].
  8. R. Wilson, Four Colors Suffice (https://press.princeton.edu/books/paperback/9780691158228/four-colors-suffice), 2002.
  9. Matplotlib’s colormaps: https://matplotlib.org/3.1.0/tutorials/colors/colormaps.html
  10. I. Wikimedia Foundation, “Morphogenesis” (https://en.wikipedia.org/wiki/Morphogenesis), Apr. 2020. [Online; last access 3-May-2020].
  11. I. Wikimedia Foundation, “Catalysis” (https://en.wikipedia.org/wiki/Catalysis), May 2020. [Online; last access 3-May-2020].
  12. I. Wikimedia Foundation, “Reaction inhibitor” (https://en.wikipedia.org/wiki/Reaction_inhibitor), Dec. 2019. [Online; last access 3-May-2020].
  13. I. Wikimedia Foundation, “Hydra (genus)” (https://en.wikipedia.org/wiki/Hydra_(genus)), May 2020. [Online; last access 3-May-2020].
  14. I. Wikimedia Foundation, “Scientific method” (https://en.wikipedia.org/wiki/Scientific_method), May 2020. [Online; last access 3-May-2020].
  15. I. Wikimedia Foundation, “Occam’s razor” (https://en.wikipedia.org/wiki/Occam%27s_razor), Apr. 2020. [Online; last access 3-May-2020].
  16. I. Wikimedia Foundation, “Heuristic” (https://en.wikipedia.org/wiki/Heuristic), Apr. 2020. [Online; last access 3-May-2020].
  17. I. Wikimedia Foundation, “Phyllotaxis” (https://en.wikipedia.org/wiki/Phyllotaxis), Mar. 2020. [Online; last access 3-May-2020].
  18. I. Wikimedia Foundation, “Four color theorem” (https://en.wikipedia.org/wiki/Four_color_theorem), Apr. 2020. [Online; last access 3-May-2020].
  19. I. Wikimedia Foundation, “Voronoi diagram” (https://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram), Apr. 2020. [Online; last access 3-May-2020].
  20. I. Wikimedia Foundation, “Delaunay triangulation” (https://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation), Apr. 2020. [Online; last access 3-May-2020].
  21. I. Wikimedia Foundation, “Four color theorem” (https://en.wikipedia.org/wiki/Four_color_theorem), Apr. 2020. [Online; last access 3-May-2020].
  22. I. Wikimedia Foundation, “Stained glass” (https://en.wikipedia.org/wiki/Stained_glass), Apr. 2020. [Online; last access 3-May-2020].

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